Высшая проба 2023, 10 класс, задача 3
( баллов) Для действительных чисел и докажите, что
Ответ
Решение. Домножив обе части на произведение знаменателей, получим . Раскрыв скобки в правой части и перенеся отрицательные слагаемые в правую часть, получим . Это неравенство получается суммированием трёх следующих неравенств, справедливых для любых и : • . Это неравенство равносильно тому, что . • . Последнее неравенство равносильно тому, что . • . Последнее неравенство равносильно тому, что .
Другое решение. Воспользуемся неравенством Коши для двух чисел (неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим): для положительных и верно . Пусть и и положительны в силу того, что и . Тогда по неравенству Коши получаем .