Высшая проба 2025, 9 класс, задача 6

( баллов) На клетчатой бумаге выбрали подряд идущих по горизонтали клеток и отметили все их вершины (получили отмеченных точек). Алиса и Боб играют в игру. Они ходят по очереди, и каждый в свой ход соединяет отрезком две отмеченные точки, соседние по горизонтали или вертикали. Первой ходит Алиса. Нельзя пропускать ход, нельзя повторять уже сделанный кем-то ход и нельзя использовать отмеченную точку, если она уже соединена с двумя соседними. Боб выигрывает, если в какой-то момент игры из проведённых отрезков сложится прямоугольник. Если этого не произойдёт, то выигрывает Алиса. При каких значениях у Алисы есть выигрышная стратегия?

Ответ

Замечание. Можно доказать, что если запретить повороты совсем (даже на ), то правильный треугольник не получится пересобрать в квадрат (и вообще, ни в какой параллелограмм).

Верное решение.

Доказано для всех⩾ 3, не рассмотрены случаи,.

Доказано для четных⩾ 4, другие случаи не рассмотрены.

Доказано, что Алиса побеждает при, других продвижений нет.

Решение не соответствует ни одному из критериев выше.

Максимум: 20

Похожие задачи

Высшая проба 2020, 9-10 классы, задача 6

(20 баллов) Рассматриваются наборы из семи гирь с суммарным весом 1 (вес каждой гири неотрицателен). Назовем поднабор большим, если сумма весов гирь поднабора больше или равна 2 / 3. Для каждого набора найдем число больших поднаборов. Найдите минимум этого числа по всем наборам.

Очень сложная

Комбинаторика

Высшая проба 2020, 9-10 классы, задача 1

(20 баллов) В таблице 9 × 9 расставлены различные натуральные числа, сумма которых равна 2S. Известно, что в каждой строке числа возрастают слева направо, а в каждом столбце - снизу вверх. Может ли сумма чисел в центральном квадрате 5 × 5 быть больше S?

Очень сложная

Комбинаторика

Высшая проба 2025, 11 класс, задача 6

(20 баллов) При каких n ≥ 2025 существует такой набор из n прямоугольников, что из них можно собрать прямоугольник (без пустот и наложений), а из любого меньшего их подмножества, состоящего из хотя бы двух прямоугольников, — нельзя?

Очень сложная

Комбинаторика

Высшая проба 2020, 11 класс, задача 6

(20 баллов) В правильном тетраэдре с ребром, равным 8, отмечены 25 различных точек: 4 вершины и 21 произвольная точка внутри тетраэдра. Никакие 4 отмеченные точки не лежат в одной плоскости. Докажите, что найдется тетраэдр с вершинами в отмеченных точках, объем которого меньше единицы.

Очень сложная

Стереометрия

Комбинаторика