Высшая проба 2026, 11 класс, задача 5
(19 баллов) На плоскости отмечено точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся два несовпадающих треугольника с вершинами в отмеченных точках, отношение периметров которых отличается от менее чем на .
Ответ
Решение. Пусть периметры всех треугольников с вершинами в отмеченных точках равны
Без ограничения общности считаем, что . Положим .
Если для некоторого выполнено , то нужные два треугольника найдены. Предположим противное: для всех имеем . Тогда
У треугольника с минимальным периметром каждая сторона короче . Так как никакие три точки не лежат на одной прямой, хотя бы одна его сторона не имеет общих концов с самой длинной стороной треугольника максимального периметра. Обозначим эту короткую сторону через , а самую длинную сторону максимального треугольника через . Тогда , причем отличны от .
Рассмотрим треугольники и . Оба имеют сторону , поэтому их периметры больше . Пусть . По неравенству треугольника
следовательно,
Значит,
Осталось показать, что . Оценим
Тогда
Осталось проверить два использованных численных неравенства. Неравенство при можно вывести из бинома Ньютона:
для достаточно больших ; в оставшихся малых случаях оно проверяется напрямую. Кроме того,
а и , поэтому . Значит, .
Можно было оценить и иначе:
что проверяется последовательным возведением в квадрат и сравнением, а затем использовать более слабую нижнюю оценку для . В обоих вариантах получаем .
Поэтому
что противоречит предположению о том, что любые два соседних по возрастанию периметра отличаются как минимум в раз. Противоречие доказывает требуемое.
Замечание. Дословно так же доказывается более общая оценка: если отмечено точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и , то найдутся два несовпадающих треугольника, отношение периметров которых отличается от менее чем на $\varepsil