Высшая проба 2023, 11 класс, задача 4

( баллов) В окружность вписан треугольник ABC такой, что . Биссектриса внешнего угла B пересекает в точке M. Прямая, параллельная BM, пересекает стороны BC,
AB и продолжение стороны CA за точку A в точках P, Q и R соответственно. Прямая MR вторично
пересекает в точке X. Докажите, что точки B, P, Q, X лежат на одной окружности.

Ответ

Решение. Рис. .

Рис. к решению задачи

Докажем, что точки , , , лежат на одной окружности . Действительно, как накрест лежащие при параллельных прямых и , а как опирающиеся на одну дугу в , откуда .

Теперь получаем из окружности и из окружности . Значит, , откуда и следует, что точки , , , лежат на одной окружности.

Используется наибольший подходящий критерий.

15 б. Приведено любое полное решение задачи.

7 б. Доказано, что один из четырёхугольниковиливписанный. Следующее продвижение не оценивается.

0 б. Счёт углов, из которого не сделан вывод о вписанности одного из четырёхугольниковили.

Максимум: 15

Похожие задачи

Высшая проба 2021, 11 класс, задача 6

(38 баллов) ABC – равносторонний треугольник на плоскости, а S – круг, концентрический с описанной окружностью треугольника ABC, но имеющий вдвое больший радиус, пусть его радиус равен 1. Применить к точке X на плоскости операцию – значит, отразить точку X симметрично относительно ближайшей вершины

Очень сложная

Планиметрия

Высшая проба 2020, 11 класс, задача 4

(20 баллов) Точки P и Q лежат соответственно на сторонах BC и CD квадрата ABCD. Прямые AP и AQ пересекают BD в точках M и N соответственно, а прямые PN и QM пересекаются в точке H. Докажите, что AHperp PQ тогда и только тогда, когда точки P,Q,M,N лежат на одной окружности.

Очень сложная

Планиметрия

Высшая проба 2022, 9-10 классы, задача 5

(40 баллов) Точка M - середина стороны BC треугольника ABC. Касательные, проведенные из M к вписанной окружности треугольника ABC, касаются этой окружности в точках P, Q. Касательные из M к вневписанной окружности ABC, касающейся стороны BC, касаются этой окружности в точках R, S. Прямые PQ, RS пере

Очень сложная

Планиметрия

Высшая проба 2023, 10 класс, задача 2

(15 баллов) Дан вписанный четырёхугольник ABCD, в котором AB = BC. На стороне CD нашлась точка N такая, что angle DNB = 90^circ. Докажите, что AD + NC = DN.

Очень сложная

Планиметрия