Высшая проба 2022, 11 класс, задача 3
( баллов) Гипотенуза прямоугольного треугольника касается вписанной и соответствующей вневписанной окружностей в точках , соответственно. Окружность, проходящая через середины сторон, касается этих же окружностей в точках , соответственно. Докажите, что .
Ответ
Решение. Введем обозначения для длин сторон: , , . Сделаем инверсию с центром и радиусом с симметрией относительно биссектрисы угла . Гипотенуза и окружность Эйлера треугольника переходят друг в друга. В самом деле, середины сторон прямоугольного треугольника и вершина его прямого угла лежат в вершинах прямоугольника, значит все четыре на одной окружности. Значит при инверсии образ окружности - прямая, легко посчитать, что эта прямая отсекает от лучей и отрезки длины и соответственно, то есть симметрична относительно биссектрисы угла .
Лемма. Вписанная и вневписанная окружности треугольника переходят друг в друга.
Доказательство. Действительно, касательная из к вписанной окружности равна ее радиусу , а касательная из к вневписанной окружности равна полупериметру . Таким образом, их произведение - площади треугольника . Итак, .
Следовательно, переходит в , а переходит в . Угол переходит в угол , значит они равны.