Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2024, 10 класс, Заключительный этапВысшая проба по математике, Заключительный этап, 2024, 10 класс, Заключительный этап

Высшая проба 2024, 10 класс, задача 5

( баллов) Окружность описана около треугольника . Биссектриса пересекает в точке . Докажите, что длина проекции отрезка на прямую больше длины отрезка .

Фото или PDF, до 20 МБ на файл, до 10 файлов. Ответ проверят вручную.
Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Заметим, что проекции отрезка на стороны и равны, потому без ограничения общности будем считать, что . Обозначим через и проекции точки на стороны и соответственно. Заметим, что точка — середина отрезка , и она лежит на отрезке . Четырёхугольник вписанный, поэтому , потому , следовательно, тупой, откуда .

1

сформулировано, что проекции точкина прямыеии середина отрезкалежат на одной прямой — прямой Симпсона, нет других комментариев про взаимное расположение проекции.

-2
2

без доказательства используется, что точкалежит на отрезке, если не применим предыдущий критерий.

-6
3

неравенство делится на косинус половины угла треугольника, ничего не сказано про положительность косинуса.

-2
4

доказано нестрогое неравенство.

-3
5

не разобран хотя бы 1 вырожденный случай (написанное решение для него не работает).

-2
6

используется, что медиана не короче биссектрисы без доказательства.

-2
Максимум: 0

Похожие задачи

Высшая проба 2022, 11 класс, задача 3

(23 баллов) Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC касается вписанной и соответствующей вневписанной окружностей в точках T1, T2 соответственно. Окружность, проходящая через середины сторон, касается этих же окружностей в точках S1, S2 соответственн
Очень сложная
Планиметрия

Высшая проба 2023, 10 класс, задача 6

(20 баллов) Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что AH2 = BH2 + CH2. На описанной окружности треугольника ABC нашлись точки D и E такие, что CE ∥ AB и BD ∥ AC. Докажите, что точка H лежит на прямой DE.
Очень сложная
Планиметрия

Высшая проба 2026, 11 класс, задача 5

(19 баллов) На плоскости отмечено 800 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся два несовпадающих треугольника с вершинами в отмеченных точках, отношение периметров которых отличается от 1 менее чем на (1/3800000).
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика

Высшая проба 2025, 9 класс, задача 5

(20 баллов) Покажите, как разрезать правильный треугольник на многоугольные куски, из которых можно сложить квадрат. Куски разрешается параллельно переносить или поворачивать на 180circ, а все другие преобразования запрещены.
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика