ВсОШ 2025, 10 класс, задача 7
В программу соревнования входит видов спорта, в каждом из которых определяется один победитель, получающий золотую медаль. В соревновании участвуют спортсменов, каждый — во всех видах спорта. Имеется экспертов, каждый из которых должен сделать прогноз, сколько золотых медалей получит каждый спортсмен, при этом в его прогнозе количества медалей должны являться целыми неотрицательными числами с суммой . Эксперта признают компетентным, если он верно угадает количество золотых медалей хотя бы у одного спортсмена. При каком наибольшем эксперты могут сделать такие прогнозы, что хотя бы из них будут признаны компетентными независимо от исхода соревнования?
Ответ
Ответ. .
Решение.
Оценка. Покажем, что , то есть что любой эксперт может оказаться некомпетентным. Если этот эксперт считает, что все спортсмены возьмут по одной медали, опровергнем его результатом . Иначе эксперт считает, что несколько (хотя бы один) спортсменов получат медалей. Тогда распределим все медали между этими спортсменами так, чтобы каждый из них получил хотя бы одну медаль. В таком случае эксперт не угадает ни одного количества медалей.
Пример. Пусть прогноз одного эксперта — , а прогнозы остальных — , , ..., (на последнем месте , и ещё одна единица).
Если некомпетентным оказался первый эксперт, то в исходе точно есть хотя бы три нуля, иначе хотя бы в позициях количество медалей не меньше , и тогда общее количество медалей не меньше — противоречие. Но тогда каждый из остальных экспертов компетентный.
Предположим теперь, что двое экспертов, отличных от первого, оказались некомпетентными. Тогда в двух позициях их прогнозы — и медалей, а значит, в реальном исходе в этих позициях не менее медалей. Кроме того, ещё в позициях прогнозы обоих экспертов — нули, значит, в реальном исходе в этих позициях не менее медали. Тогда общее количество медалей не меньше — противоречие.