ВсОШ 2021, 11 класс, задача 6

Решение.

Будем обозначать окружность, описанную около треугольника . Обозначим через описанную сферу тетраэдра . Она пересекает плоскость по окружности . Точка лежит на окружности , а потому и на сфере . Рассуждая аналогично, мы получаем, что точки и лежат на сфере . Тогда точки лежат на окружности, по которой сфера пересекает плоскость, проходящую через параллельно плоскости . Не умаляя общности можно считать, что они лежат на окружности именно в таком порядке, то есть четырехугольник - вписанный.

Отметим на луче точку , а на луче - точку так, что и . Тогда , поэтому четырехугольник тоже вписанный. Следовательно, , поэтому . Заметим, что , и .

Таким образом, стороны треугольников и попарно параллельны. Кроме того, они лежат в параллельных плоскостях. Значит, если параллельно перенести треугольник так, чтобы вершина попала в точку , то полученный треугольник будет отличаться от треугольника гомотетией, а сами треугольники и - подобны. При упомянутых выше преобразованиях точка перейдет в точку на окружности , причем , и . А тогда , и точка лежит в плоскости ; аналогично для плоскостей и . А в плоскости она лежит по построению, поэтому эти плоскости имеют общую точку.

Замечание.

После того, как мы доказали, что точки лежат на описанной сфере тетраэдра, можно закончить решение инверсией с центром в точке (с радиусом ). Обозначим через и образы точек и . Образ точки - точка пересечения касательной к окружности в точке с прямой , аналогичное верно для точек и . Несложно проверить, что эти три точки лежат на одной прямой, обозначим ее . Тогда окружности , , и проходят через одну точку - точку Микеля четырехсторонника, образованного прямыми , , и . А это означает, что плоскости , , и проходят через прообраз .