ВсОШ 2025, 11 класс, задача 4

Ответ. .

Решение. Положим . Введём систему координат так, что все вершины единичных кубиков будут иметь целые координаты от до .

Начнём с примера, показывающего, что количество чёрных кубиков действительно может быть равно . У каждого кубика рассмотрим его вершину, ближайшую к началу координат (её координаты принимают значения от до ). Пусть кубик чёрный, если хотя бы две координаты этой вершины чётны, и белый иначе. Ясно, что тогда в любом кубе будет ровно чёрных и белых кубика. При этом количество чёрных кубиков, у которых все три соответствующих координаты чётны, равно , а количество кубиков, у которых чётны ровно две координаты, равно , поэтому общее количество чёрных кубиков будет равно .

Осталось доказать, что этот пример оптимальный. Пусть куб сложен из чёрных и белых кубиков так, что выполнены условия задачи. Назовём кубик тёмным или светлым, если он является соответственно чёрным или белым в приведённом выше примере.

Для каждой точки с координатами в большом кубе назовём её -, - и -рангом числа

соответственно. Назовём рангом этой точки число . Иначе говоря, -, - или -ранг точки — это расстояние от неё до ближайшей грани большого куба, перпендикулярной соответствующей оси, а её ранг — это просто расстояние от неё до ближайшей грани большого куба.

Отметим все вершины единичных кубиков с нечётными рангами. Для каждой отмеченной вершины рассмотрим разность количеств чёрных и белых кубиков, сходящихся в этой вершине; поскольку все эти вершины являются центрами кубов , эта разность неположительна. Значит, и сумма всех таких разностей неположительна.

Скажем, что кратность единичного кубика — это количество его отмеченных вершин (столько раз этот кубик учтён в ). Тогда равна разности суммы всех кратностей чёрных кубиков и суммы кратностей всех белых кубиков. Поэтому нам достаточно доказать, что если такая разность неположительна, то количество чёрных кубиков не превосходит .

Пусть , и — это -, - и -ранги центра некоторого кубика; пусть для определённости . Тогда нетрудно видеть, что:

• если , то кратность этого кубика равна ;
• если , где чётно, то кратность кубика меньше , и он тёмный;
• если , где нечётно, то кратность кубика больше , и он светлый.

Итак, кратности всех тёмных кубиков не больше , а всех светлых — не меньше .

Пусть теперь

— кратности всех кубиков, расположенные в неубывающем порядке. Из сказанного выше вытекает, что

поскольку в приведённом выше примере значение было равно .

Если теперь в рассматриваемой раскраске чёрных кубиков, то

поскольку . Это противоречие показывает, что , что и требовалось доказать.

Замечание. Оценку можно доказать и по-другому — например, так.

Рассмотрим четыре вершины большого куба , , , , образующие правильный тетраэдр. Отметим вершину единичного кубика, если у вектора, соединяющего её с ближайшей к ней вершиной из , , и , все координаты нечётны. Пусть — количество отмеченных вершин, а — количество единичных кубиков, не имеющих отмеченной вершины. Тогда количество чёрных кубиков не превосходит .

Осталось выяснить, что . Это можно сделать непосредственно; но вместо этого можно воспользоваться той же схемой, что и в решении выше. Именно, нетрудно заметить, что если у единичного кубика есть две отмеченных вершины, то он светлый, а если нет отмеченных вершин, то он тёмный. Тогда рассуждение выше сработает с несложными изменениями.