ВСОШ 2026, региональный этап, 9 класс, задача 9

( баллов) Числа , и больше единицы и удовлетворяют равенству . Докажите, что

Ответ

Решение. Домножив первую скобку в равенстве из условия на , вторую на , а третью на , получим равенство

По неравенству о средних для трёх чисел из получаем

Раскрыв скобки в левой части и перенеся все попарные произведения в правую часть, получаем, что

где в последнем неравенстве мы снова применили неравенство о средних для трёх чисел:

Осталось заметить, что то же самое получится, если раскрыть скобки в требуемом неравенстве и перенести в правую часть.

Верное решение.

Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2022, региональный этап, 11 класс, задача 10

Даны неотрицательные числа a,b,c,d такие, что a+b+c+d=8. Докажите, что (a³/a²+b+c) +(b³/b²+c+d) +(c³/c²+d+a) +(d³/d²+a+b) ge4. (А. Кузнецов)

Сложная

Алгебра

ВсОШ 2023, региональный этап, 9 класс, задача 9

(7 баллов) Найдите наибольшее число m такое, что для любых положительных чисел a, b и c, сумма которых равна 1, выполнено неравенство √((ab/c+ab))+√((bc/a+bc))+√((ca/b+ca))ge m. (Л. Емельянов)

Сложная

Алгебра

ВСОШ 2025, региональный этап, 9 класс, задача 3

(7 баллов) Даны квадратные трёхчлены P(x) и Q(x); обозначим p_n=P(n) и q_n=Q(n). Раз в минуту Саша рисует на координатной плоскости прямую: на первой минуте — прямую с уравнением y=p₁x+q₁, на второй — с уравнением y=p₂x+q₂, ldots, на i-

Сложная

Алгебра

ВСОШ 2026, региональный этап, 9 класс, задача 1

(7 баллов) Числа a, b и c таковы, что a²+b²2 и b²+c²2. Докажите, что a⁴+c⁴4.

Сложная

Алгебра