Всесиб 2023, 9 класс, задача 1
( баллов) Конечное множество различных действительных чисел назовём хорошим, если каждое число из можно представить в виде суммы двух других различных чисел из . Какое минимальное количество чисел может содержать хорошее множество ?
Ответ
Ответ. .
Решение. Из условия следует, что содержит не меньше трёх чисел, значит, в нём есть ненулевые числа. Умножая при необходимости все числа на минус один, можем считать, что содержит положительные числа, выберем из них наибольшее число . По условию, оно равно сумме двух других различных чисел из , каждое из которых меньше него. Из максимальности следует, что оба этих числа положительны. Значит, содержит не меньше трёх различных положительных чисел. Рассмотрим минимальное из положительных число , оно равно сумме двух других различных чисел из , одно из которых должно быть отрицательным в силу минимальности .
Теперь выберем минимальное отрицательное число из , оно также равно сумме двух других различных чисел из , каждое из которых больше него. Из минимальности следует, что оба этих числа отрицательны. Следовательно, содержит не меньше трёх различных отрицательных чисел. Значит, хорошее множество должно содержать не менее шести чисел. Примером хорошего множества из шести элементов является множество .