Всесиб 2021, 9 класс, задача 2
( баллов) В каждой клетке таблицы на записано некоторое целое число так, что все восемь сумм троек чисел, записанных в клетках каждой строки, каждого столбца и каждой из двух диагоналей, равны одному числу (то есть таблица является магическим квадратом на ). Доказать, что делится на .
Ответ
Доказательство. Обозначим сумму чисел в каждой строке, каждом столбце и обеих диагоналях за . Рассмотрим сумму чисел в четырёх из рассматриваемых в условии троек: второй строки, второго столбца и двух диагоналей. Она равна, с одной стороны, , а с другой - сумме всех чисел таблицы плюс утроенное число в центральной клетке.
Сумма всех чисел таблицы равна , поэтому равно утроенному числу в центральной клетке, то есть делится на .