ВсОШ 2025, 10 класс, задача 6
При каком наименьшем для любого многочлена степени с вещественными коэффициентами найдётся такой многочлен степени не выше с вещественными коэффициентами, что графики и имеют ровно общих точек?
Ответ
Ответ. .
Решение. Положим .
- Покажем, как подобрать нужный многочлен степени не выше для данного многочлена степени . При домножении на ненулевую константу условие не поменяется ( можно домножить на ту же константу), поэтому считаем, что старший коэффициент равен , так что
Возьмём произвольный набор различных чисел , дающих в сумме , и положим
так что . Видим, что у и совпадают коэффициенты при и при , поэтому степень не превышает . С другой стороны, абсциссы точек пересечения графиков и — это в точности корни многочлена , а их ровно .
- Покажем, что не работает. Пусть дан многочлен , а — многочлен степени не выше . Предположим, что графики и пересекаются в точках, имеющих абсциссы . Но тогда многочлен степени имеет вещественных корней . С другой стороны, у коэффициенты при и равны . Но тогда по теореме Виета сумма и сумма попарных произведений равны . Отсюда
следовательно, , что противоречит тому, что различны.