ВсОШ 2026, 10 класс, задача 7
На координатной плоскости вершины выпуклого четырехугольника имеют целые координаты и лежат на графике многочлена с целыми коэффициентами. Докажите, что если диагонали этого четырехугольника перпендикулярны, то они равны между собой.
Ответ
Решение.
Лемма. Пусть — многочлен с целыми коэффициентами. На графике взяты две различные точки и с целыми координатами. Тогда прямая либо параллельна горизонтальной прямой, либо образует с ней угол, не меньший .
Доказательство. Пусть и — абсциссы точек и . Тогда угловой коэффициент прямой равен
что является целым числом, поскольку делится на для любого многочлена с целыми коэффициентами . В случае прямая горизонтальная. Иначе , значит образует с горизонталью угол, не меньший .
Перейдём к задаче. Пусть — данный четырехугольник, где . Так как не вертикальная, то не горизонтальная. Аналогично не горизонтальная. Произведение угловых коэффициентов прямых и равно . Но согласно лемме и . Значит, эти коэффициенты равны и .
Пусть . Для определенности, пусть и расположены ниже , а и — выше. Также пусть не выше, чем . Тогда прямая образует с горизонталью угол
Поскольку , согласно лемме имеем , то есть прямая горизонтальная. Аналогично показываем, что горизонтальная. Тем самым симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через . Отсюда .