ВсОШ 2026, 10 класс, задача 2
Последовательность натуральных чисел удовлетворяет равенству при всех натуральных . Найдите все такие последовательности, в которых встречается число .
Ответ
Ответ: Только одна последовательность , то есть .
Решение. Указанная в ответе последовательность удовлетворяет условию
Действительно,
Далее из условия выведем, что при всех . Вычитая равенства для индексов и , получим
Левая часть равенства (1) положительна, поэтому , значит, последовательность строго возрастает.
Если для какого-то натурального выполнено , то из (1) последовало бы . Однако в силу монотонности и , поэтому . Полученное противоречие показывает, что невозможно, поэтому для всех выполнено . Тогда, начиная с , последовательно выводим:
Наконец покажем индукцией по с базой , что (2) обращается в равенство при всех .
Докажем базу. Заметим, что при дает . В силу (2), и при . Поскольку число 3 должно содержаться в последовательности, имеем . Тогда из для получаем
Докажем переход , где , то есть из того, что для , выведем, что и . Так как , по предположению индукции и . Тогда из (1) получаем
Но согласно (2), и , откуда . Значит, оба неравенства обращаются в равенства. Этим заканчивается доказательство индукционного перехода.