Физтех 2021, 9 класс, задача 2

( баллов) На доске написано несколько попарно различных натуральных чисел. Если самое маленькое число увеличить в раза, то сумма чисел на доске станет равной . Если же самое большое число увеличить в раз, то сумма чисел на доске также станет равной . Какие числа могли быть написаны на доске?

Ответ

Ответ. , , , или , , .

Решение. Пусть на доске написано чисел (). Тогда

Вычитая из обеих частей этого равенства сумму , получим . Так как числа и взаимно просты, то , . Если , то

что невозможно. Поэтому , откуда , .

Тогда , и сумма оставшихся чисел равна , причём оставшиеся числа больше и меньше . Если это число одно, то оно равно . Если их два, то различные натуральные числа с суммой - это только и . Больше двух чисел быть не может, так как их сумма превосходит .

Похожие задачи

Физтех 2025, 9 класс, задача 2

(3 баллов) Из суммы квадратов пяти последовательных натуральных чисел вычли число 10 и получили куб натурального числа N большего 6. Найдите наименьшее возможное значение N.

Сложная

Теория чисел

Физтех 2020, 10 класс, задача 5

(5 баллов) По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке (0;0). Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В на

Сложная

Теория чисел

Планиметрия

Физтех 2020, 9 класс, задача 1

(4 баллов) На столе лежит кусочек сахара, вокруг которого по двум окружностям с одной и той же скоростью ползают муравей и жук. На плоскости стола введена прямоугольная система координат, в которой сахар (общий центр окружностей) находится в точке O(0;0). Муравей двигается по часовой стрелке, а жук

Сложная

Теория чисел

Планиметрия

Физтех 2024, 9 класс, задача 7

(5 баллов) Найдите все пары целых чисел (x;y), удовлетворяющие уравнению √(2x+2y-x²-y²)+√(1-|x+y-2|)=1.

Сложная

Теория чисел

Выражения и преобразования