СПбГУ 2022, 9 класс, задача 3

( баллов) Положительные числа , и удовлетворяют условию . Докажите неравенство

Ответ

Решение. Поскольку

нам достаточно доказать неравенство

которое эквивалентно . Но это верно, поскольку

Похожие задачи

СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 3

(20 баллов) Для любого натурального числа n докажите неравенство (1/¹√(2!))+(1/²√(4!))+(1/³√(6!))+(1/⁴√(8!))+ldots+(1/ⁿ√((2n)!))ge (n/n+1). (Как обычно, n! обозначает произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n. Например, 4!=1 · 2 ·

Сложная

Неравенства

Комбинаторика

СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 2

(20 баллов) В клетках квадрата 11 × 11 расставлены нули и единицы таким образом, что в любой фигурке из четырех клеток вида Фигурка из условия сумма чисел нечетна. (Фигурку можно поворачивать и переворачивать). Какое наименьшее количество единиц может быть в такой расстановке?

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2025, 9 класс, задача 2

(20 баллов) Каждое натуральное число окрашено в синий или красный цвет. Сумма любых двух разноцветных чисел — синее число, а их произведение — красное число. Какого цвета произведение двух красных чисел?

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2025, 9 класс, задача 5

(20 баллов) В стране 2025 городов. Между некоторыми городами построены дороги с односторонним движением, а между 2 городами может быть несколько дорог в разных направлениях. Для любых двух городов A и B можно добраться (возможно через какие-то другие города) либо из A в B, либо из B в A, либо из A в

Сложная

Комбинаторика