СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 2

( баллов) В клетках квадрата расставлены нули и единицы таким образом, что в любой фигурке из четырех клеток вида

Фигурка из условия

сумма чисел нечетна. (Фигурку можно поворачивать и переворачивать). Какое наименьшее количество единиц может быть в такой расстановке?

Ответ

Ответ: .

Решение. Разместим в квадрате фигурок, не имеющих общих клеток (см. левый рисунок). В каждой из них располагается хотя бы одна единица, поэтому всего единиц не меньше . Подходящая расстановка единиц: во всех клетках с четными координатами (см. правый рисунок).

Рисунки к задаче 2

Похожие задачи

СПбГУ 2021, 9 класс, задача 6

(20 баллов) Найдите все пары такие простых чисел p и q, что p²+5pq+4q² является квадратом натурального числа.

Сложная

Теория чисел

СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 5

(20 баллов) Углы angle BAD и angle BCD выпуклого четырехугольника ABCD равны. Точки P и Q симметричны точке A относительно прямых BC и CD соответственно. Прямые AP и AQ пересекают отрезок BD соответственно в точках E и F. Докажите, что описанные окружности треугольников BEP и DFQ касаются друг друга

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика

СПбГУ 2025, 9 класс, задача 6

(20 баллов) Найдите все простые числа p, для которых существует ровно пять таких натуральных чисел n, что n³+p² делится на n+p.

Сложная

Теория чисел

СПбГУ 2023, 8-9 классы, задача 3

(20 баллов) Натуральные числа a и b таковы, что числа ab и (a+1)(b+1) — являются квадратами некоторых натуральных чисел. Докажите, что для некоторого натурального числа n>1 число (a+n)(b+n) также является квадратом некоторого натурального числа.

Сложная

Комбинаторика