ВсОШ 2022, 11 класс, задача 2
( баллов) На плоскости нарисованы графики функций и , а также оси координат. Как циркулем и линейкой построить какую-нибудь прямую, которая касается графика синуса как выше оси абсцисс , так и ниже (и, возможно, имеет ещё несколько точек пересечения)?
(А. Кузнецов)
Ответ
Решение.
Будем искать касательную, проходящую через начало координат. Касательная к графику синуса в точке имеет уравнение . Эта прямая проходит через начало координат тогда и только тогда, когда , что равносильно . Осталось построить точку . Для этого (с помощью циркуля и линейки) построим биссектрису координатного угла, т. е. прямую . Выберем её точку пересечения с графиком тангенса: , . Далее, опуская из этой точки перпендикуляр на ось абсцисс и пересекая этот перпендикуляр с графиком синуса, получаем точку . Прямая, проходящая через начало координат и точку , будет касаться графика синуса в точке по выбору точки , а также в точке из симметрии относительно начала координат. Эти точки лежат по разные стороны от оси абсцисс, что и требовалось.