ВсОШ 2024, 10 класс, задача 3
Дано натуральное число . Илья задумал пару различных многочленов степени (с вещественными коэффициентами), аналогично Саша задумал пару различных многочленов степени . Лёня знает ; его цель - выяснить, одинаковые ли пары многочленов у Ильи и Саши. Лёня выбирает набор из вещественных чисел и сообщает эти числа. В ответ Илья заполняет таблицу : для каждого он вписывает в две клетки -го столбца пару чисел , (в любом из двух возможных порядков), где и - задуманные им многочлены. Аналогичную таблицу заполняет Саша. При каком наименьшем Лёня сможет (глядя на таблицы) наверняка добиться цели? (Л. Шатунов)
Ответ
Ответ. .
Решение. Покажем, что при Лёня не сможет однозначно определить пару . Пусть он назвал . Положим , . Тогда если Илья загадал и , то в -м столбце таблицы будут числа при и числа при . Но та же таблица годится для пары и , её мог загадать Саша.
С другой стороны, при таблице Ильи может удовлетворять не более одной пары многочленов . Предположим противное, и есть две такие пары: и . Тогда совпадает с или хотя бы при различных значениях аргумента, пусть, скажем, с . Но тогда и - одинаковые многочлены. Из таблицы тогда получаем, что значения и совпадают в точке, а тогда и .