СПбГУ 2023, отборочный этап, 10–11 классы, задача 12

( баллов) Решите уравнение

в натуральных числах.

Ответ

Ответ: или , .

Решение. Перепишем уравнение в виде , . Далее рассмотрим несколько ситуаций.

Если , то , то есть .

Если , то можно записать , где — натуральное число. После сокращения, уравнение принимает вид . Левая часть не превосходит , когда правая часть не меньше, чем , следовательно, решений нет.

Если , то , где — натуральное число. В этом случае уравнение принимает вид . Заметим, что , значит, в левой части последнего уравнения не более четырех сомножителей. Однако, если (четыре сомножителя) или (три сомножителя), то в левой части имеется произведение трех или двух последовательных натуральных чисел, чего не может быть. Следовательно, и уравнение имеет единственное натуральное решение .

Верное решение

Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 13

(40 баллов) В магазине, где все товары стоят целое число рублей, действуют два специальных предложения: 1) Покупатель, купивший одновременно не менее трех товаров, может выбрать в подарок (бесплатно) один товар, стоимость которого не превышает минимальной из стоимостей оплаченных товаров; 2) Покупат

Сложная

Алгебра

Функции

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 12

(40 баллов) Петя задумал некоторое натуральное число. За один ход он может домножить его на любое рациональное число от 1/3 до 2. Докажите, что за несколько таких операций Петя сможет получить число 1001.

Сложная

Алгебра

Теория чисел

СПбГУ 2023, отборочный этап, 10–11 классы, задача 10

(40 баллов) На доске написаны 1000 различных натуральных чисел. Оказалось, что для каждого написанного числа a на доске найдется еще хотя бы одно число b такое, что |a-b| — простое число. Докажите, что можно подчеркнуть не более 500 чисел так, чтобы для каждого неподчеркнутого числа a нашлось подчер

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2026, отборочный этап, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Для действительных чисел x и y>0 обозначим через x%y число x-y · [x/y]. Отметим на отрезке [-250;366] все x, являющиеся решением уравнения [x%frac72]=[x]%frac72. Найдите сумму длин всех отмеченных промежутков. Как обычно, через [a] обозначена целая часть числа a, т. е. наибольшее целое ч

Сложная

Алгебра

Функции