ВсОШ 2019, 11 класс, задача 5
Радиусы пяти концентрических окружностей образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию со знаменателем . При каком наибольшем можно нарисовать незамкнутую ломаную , состоящую из четырех отрезков равной длины, в которой лежит на при всех ?
(И. Богданов)
Ответ
Ответ.
При .
Решение.
Можно считать, что . Пусть радиус равен .
Выберем некоторое положительное и попытаемся построить требуемую ломаную с отрезками длины , стартуя с произвольной точки . Пусть точка уже построена. Расстояния от нее до точек окружности пробегают отрезок , то есть . Точку можно построить тогда и только тогда, когда принадлежит этому отрезку. Значит, ломаную удастся построить тогда и только тогда, когда при всех .
Поскольку , эта система неравенств равносильна неравенствам . Длина , удовлетворяющая им, существует тогда и только тогда, когда , то есть , или . Наибольшее значение , удовлетворяющее этому неравенству, есть .