ВсОШ 2023, 11 класс, задача 1

( баллов) Число таково, что и - рациональные числа. Докажите, что является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами. (Н. Агаханов)

Ответ

Решение. Положим и . Введём обозначения: и . По условию рациональными являются числа

Отсюда . Значит, - корень квадратного уравнения

с рациональными коэффициентами, откуда следует требуемое.

Похожие задачи

ВсОШ 2019, 10 класс, задача 3

В межгалактической гостинице есть 100 комнат вместимостью 101,102,ldots,200 человек. В этих комнатах суммарно живёт n человек. В гостиницу приехал VIP-гость, для которого нужно освободить целую комнату. Для этого директор гостиницы выбирает одну комнату и переселяет всех её жителей в одну и ту же др

Очень сложная

Алгебра

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 3

(20 баллов) Даны натуральные числа a и b такие, что age 2b. Существует ли многочлен P(x) степени больше 0 с коэффициентами из множества {0,1,2,ldots,b-1} такой, что P(a) делится на P(b)? (Т. Коротченко)

Очень сложная

Алгебра

Теория чисел

ВсОШ 2025, 10 класс, задача 6

При каком наименьшем k для любого многочлена f(x) степени 100 с вещественными коэффициентами найдётся такой многочлен g(x) степени не выше k с вещественными коэффициентами, что графики y=f(x) и y=g(x) имеют ровно 100 общих точек?

Очень сложная

Алгебра

Функции

ВсОШ 2025, 11 класс, задача 3

Пару многочленов F(x,y) и G(x,y) с целыми коэффициентами назовём важной, если из делимости на 100 обеих разностей F(a,b)-F(c,d) и G(a,b)-G(c,d), где a, b, c, d — целые, следует, что числа a-c и b-d делятся на 100. Существует ли такая важная пара многочленов P(x,y), Q(x,y), что пара многочленов P(x,y

Очень сложная

Алгебра

Теория чисел