Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 8

За круглый стол сели мудрецов. Часть из них в синих колпаках, остальные — в красных. Известно, что среди любых пяти мудрецов, сидящих подряд, найдутся по крайней мере двое в красных колпаках. Какое наименьшее количество мудрецов может быть в красных колпаках?

Ответ

Ответ. .

Решение. Выбрав мудреца в красном колпаке (такой найдётся), разобьём остальных на пятёрок подряд сидящих. Тогда есть не менее чем мудрец в красных колпаках. Для построения примера занумеруем мудрецов по кругу и дадим красные колпаки , , , , , -му.

Похожие задачи

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 10

Каждый из 11 учеников записал к себе в тетрадь какие-то натуральные числа, не превосходящие N. Оказалось, что если взять любых 6 учеников, то в их тетрадях можно найти любое натуральное число, не превосходящее N, а если взять любых 5 учеников — нет (то есть найдётся число, которого нет ни в одной те

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 10

За круглый стол сели 90 мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках трёх ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 9

За круглый стол сели 95 мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках двух ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, четвёртый тур, задача 5

У Олега есть конфеты 16 сортов. Он хочет выложить конфеты в ряд так, чтобы для любых двух различных сортов нашлись рядом лежащие конфеты этих сортов. Какого наименьшего количества конфет ему для этого хватит?

Сложная

Комбинаторика