ВсОШ 2024, 9 класс, задача 1

Петя и Вася знают лишь натуральные числа, не превосходящие . Петя считает хорошими числа, представимые в виде , где , и — натуральные числа, не меньшие . Вася считает хорошими числа, представимые в виде , где , и — натуральные числа, большие . Для кого из них хороших чисел больше? ( И. Богданов )

Ответ

Ответ. Для Васи.

Решение. Если число хорошее для Пети, то (также натуральное) число = ()()() - () - () - () является хорошим для Васи. Значит, если для Пети есть хороших чисел, то мы предъявили различных чисел, хороших для Васи, и все они строго меньше, чем . Но число = ()()-()( также является хорошим для Васи; поэтому для Васи есть хотя бы хорошее число.

Похожие задачи

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 3

Найдите все натуральные n, для которых существует такое чётное натуральное a, что число (a-1)(a²-1)ldots(aⁿ-1) является точным квадратом.

Сложная

Теория чисел

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 8

Дан треугольник с различными натуральными длинами сторон a, b и c. Докажите, что хотя бы одно из чисел ab+1, bc+1 и ca+1 не является полным квадратом.

Сложная

Теория чисел

ВсОШ 2021, 9 класс, задача 7

Натуральные числа n>20 и k>1 таковы, что n делится на k². Докажите, что найдутся натуральные числа a,b и c такие, что n=ab+bc+ca. (А. Храбров)

Сложная

Теория чисел

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 1

(20 баллов) Назовём главными делителями составного числа n два наибольших его натуральных делителя, отличных от n. Составные натуральные числа a и b таковы, что главные делители числа a совпадают с главными делителями числа b. Докажите, что a=b. (А.С. Голованов)

Сложная

Теория чисел