ВсОШ 2023, региональный этап, 11 класс, задача 5
( баллов) В остроугольном неравнобедренном треугольнике проведена высота , медиана , а также отмечен центр его описанной окружности . Отрезки и пересекаются в точке , прямые и — в точке , прямые и — в точке . Лучи и пересекают окружность в точках и . Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.
(А. Кузнецов)
Ответ
Решение. Пусть — такая точка на луче , что (см. рис. ). Докажем, что точки , и лежат на одной прямой.
В самом деле, по теореме Менелая для треугольника и прямой имеем
Поскольку прямые , и параллельны между собой (так как они все перпендикулярны прямой ), имеем , а также . Значит,
из чего следует, что точки , и лежат на одной прямой по теореме Менелая для треугольника . Значит, точка диаметрально противоположна точке в окружности . Аналогично, если — точка пересечения перпендикуляра к прямой , проходящего через точку , и прямой , то точка диаметрально противоположна точке . Из этого следует, что , и, аналогично, .
Обозначим через , и точки пересечения прямой соответственно с прямыми , и (см. рис. ). Заметим, что треугольники и подобны как прямоугольные с общим острым углом. Значит, , или . Аналогично, . Значит, прямые и пересекают прямую в одной и той же точке, что и требовалось доказать.