ВсОШ 2023, региональный этап, 10 класс, задача 5
( баллов) В остроугольном треугольнике проведена высота и отмечена точка пересечения высот . Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает окружность, описанную около треугольника , в точках и . Докажите, что .
(М. Туревский, М. Дидин)
Ответ
Решение. Заметим, что , так что — средняя линия прямоугольного треугольника . Значит, пересекает гипотенузу в её середине , так что (см. рис. ).
Имеем , а поскольку и , имеем также . Получаем равенство , из которого следует касание прямой и окружности в точке . Отсюда (по теореме о произведении отрезков секущей).
Далее, . Значит, треугольники и подобны (угол общий и ). Отсюда , поэтому . Итак, , и, поскольку , для завершения решения остаётся убедиться, что .
Для определённости далее считаем, что лежит между и . Имеем . Так как , то дуги и равны, а значит, опирающиеся на них вписанные углы равны. Тогда , что завершает доказательство.
Замечание. Во второй части решения счёт углов можно провести разными способами. Попутно можно доказать, что — это ортоцентр треугольника .