ВсОШ 2022, региональный этап, 9 класс, задача 5

Решение. Во всех решениях ниже окружность, описанная около треугольника , обозначается через , а её центр — через .

Первое решение. Внешняя () и внутренняя () биссектрисы угла перпендикулярны. Тогда , и четырёхугольник вписан. Поэтому , откуда . Значит, касается (в точке ; см. рис. ).

Выберем на отрезке такую точку , что . Тогда , откуда . Поскольку , получаем, что — биссектриса внешнего угла .

Совершим гомотетию с центром , переводящую треугольник в . Тогда прямая перейдёт в , а прямая (перпендикулярная ) — в . Значит, точка перейдёт в , откуда и следует, что точка лежит на .

Второе решение. Выберем на прямых и точки и так, что (см. рис. ). Как и выше, докажем, что окружность касается . Аналогично, описанная окружность треугольника также касается в точке (и тоже проходит через ). Поэтому эти окружности совпадают, то есть лежит на .

Докажем, что центром является точка пересечения диагоналей и трапеции . Заметим сразу, что из вписанных четырёхугольников и получаются равенства , так что прямоугольные треугольники и подобны, и . Значит, .

Пусть пересекает в точке . Поскольку лежит на диаметре , проходящем через , и , точка лежит на . Прямая параллельна основаниям трапеции и проходит через точку пересечения диагоналей трапеции; как известно, в этом случае делится точкой пополам. Поскольку — диаметр , получаем .

Замечание. После доказательства того, что касается в точке , существуют и другие способы продолжения решения. Приведём набросок одного из них.

Нетрудно видеть, что . Отметим на луче точку так, что ; тогда . Применяя теорему синусов, можно получить, что

Таким образом, точка лежит на прямых и , то есть (если эти две прямые не совпадают, то есть ).