Пусть p и q— различные простые числа. Дана бесконечная убывающая арифметическая прогрессия, в которой встречается каждое из чисел p23, p24, q23 и q24. Докажите, что в этой прогрессии обязательно встретятся числа p и q. Дано нечётное число nge3. В клетчатом квадрате 2n × 2n закрашивают 2(n-1)2 клеток. Какое наибольшее количество трёхклеточных уголков можно гарантированно вырезать из незакрашенной клетчатой фигуры? (Г. Шарафетдинова) Дано натуральное число n. Илья задумал пару различных многочленов степени n (с вещественными коэффициентами), аналогично Саша задумал пару различных многочленов степени n. Лёня знает n; его цель - выяснить, одинаковые ли пары многочленов у Ильи и Саши. Лёня выбирает набор из k вещественных чисел x Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором angle A+angle D=90circ, его диагонали пересекаются в точке E. Прямая ell пересекает отрезки AB, CD, AE и ED в точках X, Y, Z и T соответственно. Известно, что AZ=CE и BE=DT. Докажите, что длина отрезка XY не больше диаметра описанной окружности Дана прямолинейная дорога, выложенная из зелёных и красных дощечек (дорога - отрезок, разбитый на отрезки-дощечки). Цвета дощечек чередуются; первая и последняя дощечки - зелёные. Известно, что длины всех дощечек больше сантиметра и меньше метра, а также что длина каждой следующей дощечки больше пре Дан параллелограмм ABCD. Точка M - середина дуги ABC окружности, описанной около треугольника ABC. На отрезке AD отмечена точка E, а на отрезке CD - точка F. Известно, что ME=MD=MF. Докажите, что точки B, M, E и F лежат на одной окружности. (А. Терёшин) Пусть даны натуральные числа x1 и x2. На прямой даны y1 белых отрезков и y2 чёрных отрезков, при этом y1ge x1 и y2ge x2. Известно, что никакие два отрезка одного цвета не пересекаются (даже не имеют общих концов) Дано натуральное n>2. Маша записывает по кругу n натуральных чисел. Далее Тая делает такую операцию: между каждыми двумя соседними числами a и b она пишет некоторый делитель числа a+b, больший 1; затем Тая стирает исходные числа и получает новый набор из n чисел, стоящих по кругу. Всегда ли Тая може 
