(7 баллов) В таблице 6 × 6 изначально записаны нули. За одну операцию можно выбрать одну клетку и заменить число, стоящее в ней, на любое целое число. Можно ли за 8 операций получить таблицу, в которой все 12 сумм чисел в строках и столбцах будут различными положительными числами? (А. Кузнецов, П. К (7 баллов) Дан бумажный треугольник, длины сторон которого равны 5 см, 12 см и 13 см. Можно ли разрезать его на несколько (больше одного) многоугольников, у каждого из которых площадь (измеренная в см2) численно равна периметру (измеренному в см)? (Д. Храмцов) (7 баллов) В городе N прошли 50 городских олимпиад по разным предметам, при этом в каждой из этих олимпиад участвовало ровно 30 школьников, но не было двух олимпиад с одним и тем же составом участников. Известно, что для любых 30 олимпиад найдётся школьник, который участвовал во всех этих 30 олимпиа (7 баллов) Даны натуральные a, b, c такие, что a>1, b>c>1, а число abc+1 делится на ab-b+1. Докажите, что b делится на a. (М. Антипов) (7 баллов) В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BD и отмечена точка пересечения высот H. Серединный перпендикуляр к отрезку HD пересекает окружность, описанную около треугольника BCD, в точках P и Q. Докажите, что angle APB+angle AQB=180circ. (М. Туревский, М. Дидин) (7 баллов) Для натурального числа n обозначим через Sn наименьшее общее кратное всех чисел 1,2,ldots,n. Существует ли такое натуральное число m, что Sm+1=4Sm? (А. Кузнецов) (7 баллов) Петя взял некоторые трёхзначные натуральные числа a0,a1,ldots,a9 и написал на доске уравнение a9x9+a8x8+ldots+a2x2+a1x+a0=*. Докажите, что Вася сможет вместо звёздочки (7 баллов) Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. На стороне AB выбрана точка L так, что AL=CK. Отрезки AK и CL пересекаются в точке M. На продолжении отрезка AD за точку D отмечена точка N. Известно, что четырёхугольник ALMN — вписанный. Докажите, что angle CNL=90 (7 баллов) Дано натуральное число k. Вдоль дороги стоят n столбов через равные промежутки. Миша покрасил их в k цветов и для каждой пары одноцветных столбов, между которыми нет других столбов того же цвета, вычислил расстояние между ними. Все эти расстояния оказались различны. При каком наибольшем n (7 баллов) Докажите, что для любых трёх положительных вещественных чисел x, y, z выполнено неравенство (x-y)√(3x2+y2)+(y-z)√(3y2+z2)+(z-x)√(3z2+x2)ge0. (П. Бибиков) 
