На плоскости отмечены 5 точек. Докажите, что можно выбрать некоторые из них и переместить их так, чтобы расстояние между любыми двумя перемещенными точками не изменилось, а в результате на плоскости осталось множество из 5 точек, симметричное относительно некоторой прямой. (С. Волчёнков) При каком наименьшем натуральном n существуют такие целые a1,a2,ldots,an, что квадратный трехчлен x2-2(a1+a2+ldots+an)2x+(a14+a24+ldots+an4+1) име Окружность Ω с центром в точке O описана около остроугольного треугольника ABC, в котором AB В лагерь приехали 10000 детей, каждый дружит ровно с 11 другими детьми в лагере (дружба взаимна). Каждый ребенок носит футболку одного из семи цветов радуги, причем у любых двух друзей цвета различны. Вожатые потребовали, чтобы какие-нибудь дети (хотя бы один) надели футболки других цветов (из тех ж В детском саду воспитательница взяла n>1 одинаковых картонных прямоугольников и раздала их n детям, каждому по прямоугольнику. Каждый ребенок разрезал свой прямоугольник на несколько одинаковых квадратиков (квадратики у разных детей могли быть разными). Оказалось, что общее количество квадратиков - На стороне AC равнобедренного треугольника ABC с основанием BC взята точка D. На меньшей дуге CD окружности, описанной около треугольника BCD, выбрана точка K. Луч CK пересекает прямую, параллельную BC и проходящую через A, в точке T. Пусть M - середина отрезка DT. Докажите, что angle AKT=angle CAM. Среди 16 монет есть 8 тяжёлых - весом по 11 г, и 8 лёгких весом по 10 г, но неизвестно, какие из монет какого веса. Одна из монет - юбилейная. Как за три взвешивания на двухчашечных весах без гирь узнать, является юбилейная монета тяжёлой или лёгкой? (К. Кноп) Даны числа a,b,c, не меньшие 1. Докажите, что (a+b+c/4) ge√((ab-1/b+c))+√((bc-1/c+a))+√((ca-1/a+b)). (К. Тыщук) 
