ВсОШ 2019, 9 класс, задача 6

На стороне равнобедренного треугольника с основанием взята точка . На меньшей дуге окружности, описанной около треугольника , выбрана точка . Луч пересекает прямую, параллельную и проходящую через , в точке . Пусть - середина отрезка . Докажите, что .

(А. Кузнецов)

Ответ

Решение.

Продлим отрезок на его длину за точку , получим точку такую, что параллелограмм. Поскольку , для решения задачи достаточно показать, что , или что точки лежат на одной окружности (см. рис. 1). Пусть пересекает в точке ; тогда , и

Рисунок 1 к решению задачи 9.6

- равнобокая трапеция. Мы докажем, что точки и лежат на окружности , описанной около треугольника . Имеем , значит, лежит на окружности . Из окружности, описанной около трапеции , имеем , поэтому лежит на окружности , что и требовалось доказать.

Похожие задачи

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 7

(20 баллов) Дана трапеция ABCD, в которой ADparallel BC, а лучи AB и DC пересекаются в точке G. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников ABC и ACD, пересекаются в точке E. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников ABD и BCD, пересекаются в т

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2021, 9 класс, задача 6

Внутри неравнобедренного остроугольного треугольника ABC, в котором angle ABC=60^circ, отмечена точка T так, что angle ATB=angle BTC=angle ATC=120^circ. Медианы треугольника пересекаются в точке M. Прямая TM пересекает вторично окружность, описанную около треугольника ATC, в точк

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2026, 9 класс, задача 3

Дан неравнобедренный треугольник ABC, в котором angle A=60^circ. На стороне BC отмечены точки X и Y таким образом, что 2BX=AB и 2CY=AC. Докажите, что существует окружность, проходящая через точки X и Y, которая касается вписанной и одной из вневписанных окружностей треугольника ABC.

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2024, 9 класс, задача 6

Высоты остроугольного треугольника ABC, в котором AB

Сложная

Планиметрия