(15 баллов) Петя задумал число x, а Вася — число y, причём Петино число x оказалось больше. Затем Петя нашёл значение выражения dfrac{x3}{x2+x+1}, а Вася — выражения dfrac{y3}{y2+y+1}. Обязательно ли полученное Петей число будет больше Васиного? (15 баллов) Имеется 26 карточек: по две штуки с числами 1, 2, 3, ldots, 13. Требуется разложить эти карточки по стопкам так, чтобы: любые две одинаковые карточки лежали в одной стопке; если две карточки лежат в одной стопке, карточка с суммой чисел на них не лежит в той же стопке. Каким минимальным (15 баллов) Диагонали трапеции ABCD (ADparallel BC) пересекаются в точке P. Известно, что периметры треугольников APB и CPD равны. Обязательно ли трапеция ABCD является равнобедренной? (15 баллов) Многие учащиеся математического кружка остаются в нём преподавать после выпуска. Будем говорить, что Ваня является последователем Саши, если Ваня учился у Саши или если Ваня учился у ученика Саши, ученика ученика Саши и так далее. Преподаватель кружка называется народным, если у него ест (20 баллов) Окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке K. На S1 и S2 выбраны точки B и A соответственно такие, что отрезки O1A и O2B касаются окружностей и пересекаются в точке C. Дока (20 баллов) Дан приведённый квадратный трёхчлен f с целыми коэффициентами. Известно, что если f(x) (x целый) делится на некоторое простое p>2024, то f(x) также делится на p2. Докажите, что тогда это свойство верно и для всех простых p<2024. (20 баллов) Окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке K. На S1 и S2 выбраны точки B и A соответственно такие, что отрезки O1A и O2B касаются окружностей и пересекаются в точке C. Дока (20 баллов) Дан приведённый квадратный трёхчлен f с целыми коэффициентами. Известно, что если f(x) (x целый) делится на некоторое простое p>2024, то f(x) также делится на p2. Докажите, что тогда это свойство верно и для всех простых p<2024. (15 баллов) Диагонали трапеции ABCD (ADparallel BC) пересекаются в точке P. Известно, что периметры треугольников APB и CPD равны. Обязательно ли трапеция ABCD является равнобедренной? (15 баллов) Петя задумал число x, а Вася — число y, причём Петино число x оказалось больше. Затем Петя нашёл значение выражения dfrac{x3}{x2+x+1}, а Вася — выражения dfrac{y3}{y2+y+1}. Обязательно ли полученное Петей число будет больше Васиного? (15 баллов) Имеется 26 карточек: по две штуки с числами 1, 2, 3, ldots, 13. Требуется разложить эти карточки по стопкам так, чтобы: любые две одинаковые карточки лежали в одной стопке; если две карточки лежат в одной стопке, карточка с суммой чисел на них не лежит в той же стопке. Каким минимальным 
