(14 баллов) Через langle xrangle обозначим ближайшее к x целое число (условимся, что langle n+frac12rangle=n при целом n). Положим bk=k+langle√krangle. Выпишем все натуральные числа, не встречающиеся в последовательности b1,b2,b3,ldots в порядке возрастани (17 баллов) Число x1 случайным образом выбирается на отрезке [0,2] (вероятность того, что x1 попадет в заданный интервал на отрезке [0,2], пропорциональна длине этого интервала). Далее строится последовательность xn, такая, что xn+1=3|xn-1|-1, n (28 баллов) В ряд стоят n домов k различных цветов, причем для любого цвета найдутся 100 стоящих подряд домов, среди которых домов этого цвета строго больше, чем домов любого другого цвета. При каком наибольшем k это возможно, если а) n=404? б) n=406? (23 баллов) Четырехугольник ABCD вписан в окружность ω. Точки M, N лежат на сторонах AD, CD соответственно. Прямые, проходящие через M, N и параллельные соответственно AB, BC, пересекаются в точке P, лежащей внутри четырехугольника ABCD; а прямая BP повторно пересекает ω в точке Q, лежащей на дуге C (30 баллов) Сережа задумал натуральное число n, не превосходящее 2019. Сначала он делит его с остатком на 202, получая неполное частное q1 и остаток r1. Затем, на i-ом шаге (i=2,3,ldots) он делит с остатком число overline{ri-1qi-1} на 202, получая неполное (32 баллов) В вершине A правильного треугольника ABC со стороной 3n метров (где n – натуральное число), стоит невидимый точечный робот, а в точке пересечения медиан треугольника ABC лежит мина. Роботу можно отдавать команду с двинуться на 1 метр в любом из 6 направлений, параллельных сторонам треуго (38 баллов) ABC – равносторонний треугольник на плоскости, а S – круг, концентрический с описанной окружностью треугольника ABC, но имеющий вдвое больший радиус, пусть его радиус равен 1. Применить к точке X на плоскости операцию – значит, отразить точку X симметрично относительно ближайшей вершины 
