(17 баллов) Для действительного числа α∈(0,1) рассмотрим возрастающую последовательность всех натуральных чисел mi, для которых {miα}<α. Может ли для какого-то α соответствующая последовательность начинаться с а) 2021;4041;6062? б) 2021;4042;6062;8082?
(20 баллов) В последовательности чисел 20;21;22;ldots некоторые члены умножили на -1, причем известно, что осталось бесконечно много положительных членов. Докажите, что любое натуральное число представимо в виде суммы нескольких различных членов полученной последоват
(26 баллов) В ряд стоят n домов k различных цветов, причем для любого цвета найдутся 100 стоящих подряд домов, среди которых домов этого цвета строго больше, чем домов любого другого цвета. При каком наибольшем k это возможно, если а) n=84? б) n=86?
(23 баллов) В угол AOC вписаны окружности Omega1 и Omega2 (радиус Omega1 больше). Omega1 касается сторон угла в точках A и B, а Omega2 – в точках D и C соответственно. Точка M – середина отрезка BC. Прямые MA и MD вторично пересекают Omega1 и Omega2 соответственно в точках X и Y. Прямые BX и CY пере
(28 баллов) Дана пара взаимно-простых многочленов с действительными коэффициентами P(x) и Q(x) степеней 2021 и 2000 соответственно (взаимно-простые означает, что не существует многочлена R(x), не равного константе, на который делятся P(x) и Q(x)). Гриша выбирает конечное множество действительных чис
(38 баллов) ABC – равносторонний треугольник на плоскости, а S – круг, концентрический с описанной окружностью треугольника ABC, но имеющий вдвое больший радиус, пусть его радиус равен 1. Применить к точке X на плоскости операцию – значит, отразить точку X симметрично относительно ближайшей вершины
(34 баллов) Для таблички n×n рассматриваем семейство квадратов 2×2, состоящих из клеток таблицы, и обладающее свойством: для любого квадрата семейства найдется покрытая им клетка, не покрытая никаким другим квадратом из семейства. Через f(n) обозначим максимальное количество квадратов в таком семейс
