(7 баллов) На доске 8 на 8 произвольным образом отмечены 12 клеток. Докажите, что всегда можно выбрать некоторые 4 горизонтали и некоторые 4 вертикали так, чтобы они содержали все отмеченные клетки. (7 баллов) Сумма некоторого составного натурального числа и его максимального делителя, отличного от 1 и самого числа, равна pk для некоторого простого числа p и kge 2. Найти все возможные значения p. (7 баллов) Отрезок разделен 19 точками на 20 частей. Каждый из 20 отрезков разбиения нужно сделать стрелкой так, чтобы стрелок, указывающих налево, было столько же, сколько указывающих направо, и для каждой стрелки количество других стрелок, на которые она указывает, отличалось от аналогичного колич (7 баллов) В остроугольном треугольнике ABC обозначим за I центр вписанной в него окружности, а за P - точку пересечения прямой, зеркально симметричной прямой AB относительно биссектрисы CI и прямой, зеркально симметричной прямой BC относительно биссектрисы AI. Докажите, что PI перпендикулярна сторо (7 баллов) Найти все тройки действительных чисел (a,b,c), удовлетворяющих системе уравнений a(b2+c)=c(c+ab), b(c2+a)=a(a+bc), c(a2+b)=b(b+ca). 
