Всесиб 2026, 10 класс, задача 5
( баллов) Найти все тройки действительных чисел , удовлетворяющих системе уравнений
Ответ
Ответ. .
Решение. 1. Сначала представим уравнения системы в следующем виде
-
Предположим, что одно из чисел равно , можно считать . Тогда из первого уравнения следует , подставим в третье уравнение, получим . В итоге получим решение . Далее считаем все числа ненулевыми.
-
Предположим, что два из чисел равны, можно считать . Тогда из второго уравнения . В итоге получим решение . Далее считаем все числа ненулевыми и различными.
-
Перемножим все уравнения, получим , сокращаем на , получаем . Отсюда следует, что, либо все числа положительны, либо среди них одно положительно, а два - отрицательны.
-
Предположим, что среди чисел одно положительно, а два - отрицательны, можно считать . Тогда в уравнении левая часть отрицательна, а правая - положительна - противоречие. Далее считаем все числа положительными и различными.
-
Ввиду цикличности системы, нам достаточно рассмотреть два различных случая: и . В первом из них - противоречие. Во втором случае - тоже противоречие. В итоге, получается только одна бесконечная серия решений .