Задания Всесибирская олимпиада школьников — 9 класс — 2021/22
Оригинальные задания олимпиады «Всесибирская олимпиада школьников » для 9 класса за 2021/22 учебный год. В выбранном комплекте: 5 задач и 2 файла для подготовки.
(7 баллов) Представить число 100 в виде суммы максимально возможного количества различных попарно взаимно простых натуральных чисел. Пояснение: условие означает, что наибольший общий делитель любых двух чисел, использованных в сумме, равен 1.
(7 баллов) В выпуклом четырёхугольнике ABCD обозначим за P и R середины сторон AB и CD соответственно, а за Q и S — середины диагоналей BD и AC соответственно. Докажите, что, если отрезки PR и QS перпендикулярны, то длины сторон BC и AD четырёхугольника равны.
(7 баллов) В окружности провели несколько различных хорд таким образом, что каждая из них проходит через середину хотя бы одной другой хорды. Докажите, что все проведённые хорды являются диаметрами окружности.
(7 баллов) В какое наименьшее число цветов можно окрасить все клетки квадрата 6 × 6 так, чтобы в каждой горизонтали, вертикали и диагонали квадрата все клетки имели разный цвет? Пояснение: под диагональю квадрата понимаются все ряды из не менее, чем двух клеток, идущие диагонально от одного края ква
