Задания Всесибирская олимпиада школьников — 10 класс — 2021/22
Оригинальные задания олимпиады «Всесибирская олимпиада школьников » для 10 класса за 2021/22 учебный год. В выбранном комплекте: 5 задач и 2 файла для подготовки.
(7 баллов) Из Пахомово в Воробьёво шёл Иван. Ровно в полдень, когда он преодолел 4/9 всего пути, вдогонку ему из Пахомово выехал велосипедист Фома, а навстречу ему из Воробьёво вышел Ерёма. Фома обогнал Ивана в 13 часов, и встретил Ерёму в 13 часов 30 минут. Когда встретятся Иван и Ерёма?
(7 баллов) Пусть x, y, z — действительные числа такие, что (x+y+z)(xy+yz+xz)=xyz. Докажите, что среди чисел x, y, z обязательно найдутся два, сумма которых равна нулю.
(7 баллов) Набор из 35 прямоугольников, не являющихся квадратами, длины сторон которых являются целыми числами, таков, что из них можно составить 9 квадратов размера 10 см на 10 см. Докажите, что из прямоугольников этого набора можно составить два прямоугольника, площади которых различаются не более
(7 баллов) Собственным делителем натурального числа называется любой его делитель, отличный от 1 и самого числа. Найти все натуральные числа, у которых максимальный собственный делитель на 2 больше квадрата минимального собственного делителя.
(7 баллов) Докажите, что для любой точки M внутри равностороннего треугольника ABC такой, что величина угла AMC равна 150circ, из отрезков MA, MB и MC можно составить прямоугольный треугольник.
