Оригинальные задания олимпиады «Олимпиада школьников «Физтех» по математике» за 2021/22 учебный год. В выбранном комплекте: 7 задач и 2 файла для подготовки.
(3 баллов) Углы α и β удовлетворяют равенствам sin(2α+2β)=-frac1{√5},qquad sin(2α+4β)+sin2α=-frac45. Найдите все возможные значения operatorname{tg}α, если известно, что он определён и что этих значений не меньше трёх.
(5 баллов) Окружности Ω и ω касаются в точке A внутренним образом. Отрезок AB - диаметр большей окружности Ω, а хорда BC окружности Ω касается ω в точке D. Луч AD повторно пересекает Ω в точке E. Прямая, проходящая через точку E перпендикулярно BC, повторно пересекает Ω в точке F. Найдите радиусы ок
(5 баллов) Функция f определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел a и b из этого множества выполнено равенство f(ab)=f(a)+f(b), и при этом f(p)=[p/4] для любого простого числа p ([x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x). Найдите количество
(5 баллов) Найдите все пары чисел (a;b) такие, что неравенство (12x+11/4x+3) le ax+ble -8x2-30x-17 выполнено для всех x на промежутке [-frac{11}4;-frac34).
(6 баллов) Дана пирамида ABCD, вершина A которой лежит на одной сфере с серединами всех её рёбер, кроме ребра AD. Известно, что AB=1, BD=2, CD=3. Найдите длину ребра BC. Какой наименьший радиус может иметь сфера, описанная около данной пирамиды?
