Производство-easy
Спрос на продукцию фирмы Монополиста задается уравнением . Он может открыть любое количество заводов, издержки на каждом из которых будут задаваться по следующей формуле:
где - целые числа от до , где - число заводов, которое решит открыть монополист. Найдите оптимальный объём производства монополиста.
Допустим монополист открыл n заводов. Тогда его постоянные издержки будут равны:
Теперь посмотрим на
значит данном случае всех заводов - возрастающие функции по , а значит в оптимуме они должны быть равны.
Обозначим как , тогда отсюда Тогда
Безусловно, можно взять производную по , найти оптимальное значение (с учетом целочисленности ), подставить в издержки и найти функцию. Однако, есть и другой метод: представим, что мы откроем хотя бы один завод (в противном случае, очевидно, монопольный выпуск равен нулю). Тогда , не меньше нуля. Пусть , . Тогда, по неравенству о средних не меньше чем , а так как мы минимизируем , то . Отсюда предельная прибыль монополиста равна , значит оптимальный выпуск равен нулю.
Ответ:
Оптимальный монопольный выпуск .
Примечание:
Внимательный школьник наверняка заметит, что если взять производную по , и проминимизировать, то оптимальное будет неким образом зависеть от , и тогда нужно будет проверять будет ли целым, в зависимости от . Однако, мы вывели, что если бы необязательно было целым, то предельная прибыль монополиста была бы не положительной при любом , а значит при только целых , прибыль будет не больше, и оптимальный монопольный выпуск все равно будет (потому что оптимизация издержек для целых есть частный случай оптимизации издержек для любых неотрицательных ).
Еще более внимательный школьник заметит, что максимальная прибыль на данном спросе равна , как и постоянные издержки при открытии первого завода, уже отсюда можно сделать вывод, что оптимальный выпуск .