Задача 4. МЭ ПОШ – 2019 (10-11 класс)
В Средиземье есть два города на разных берегах одной известной реки. Давайте назовем один городом Солнца, а второй городом Луны. В городе Солнца живет человек и эльфов. Люди - неплохие ремесленники, поэтому каждый человек в неделю зарабатывает золотых монет. Однако ни один человек не может сравниться с умением эльфов делать доспехи и оружие. Каждый эльф в неделю продает товаров на золотых монет. Других доходов представители обеих групп не имеют.
В городе Луны живут бывшие люди и бывшие эльфы. Бывшие люди зарабатывают грабежом близлежащих территорий. Каждый бывший человек грабит золотых в неделю (важно заметить, что бывшие люди не грабят жителей города Солнца и города Луны). В то же время бывшие эльфы довольно медлительны, поэтому с соседних территорий им удается награбить только золотых в неделю, зато они хитры и успешно обворовывают эльфов из города Солнца. Каждый бывший эльф утаскивает по золотых в неделю у эльфов из города Солнца. Всего в городе Луны живет бывших эльфов и бывших людей.
а) Нарисуйте кривую Лоренца для каждого города и посчитайте коэффициент Джини.
(Максимальный балл - )
В первую очередь запишем следующую таблицу для города Солнца:
Многие совершали ошибку при прочтении условия, и указывали неверный средний доход эльфов. Необходимо было заметить, что в городе Луны есть группа бывших эльфов, которые воруют каждый по золотых монет у эльфов из города Солнца.
Заметим, что кривая Лоренца для обеих стран будет одинаковой:
Коэффициент Джини будет одинаковым для обоих городов. Посчитать его можно как две площади между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца:
За подсчет коэффициента Джини в каждой стране можно было получить ( балла) за каждую. Баллы за использование формулы не снимались, однако, составители олимпиады просят участников обратить внимание, что на некоторых олимпиадах эту формулу могут не разрешить использовать без доказательства, поэтому мы советуем всегда считать коэффициент Джини через отношение соответствующих площадей.
б) В регионе случилась война с проникновением на вражескую территорию и маленьким извержением вулкана в конце. В результате города объединились в единое государство, в котором численность каждой группы не изменилась по сравнению с состоянием до войны. Жители города Луны перестали воровать и начали зарабатывать столько же сколько в стародавние времена (бывшие люди теперь зарабатывают столько же сколько и средний человек, аналогичное верно и для бывших эльфов). Удалось ли в результате войны сократить коэффициент Джини всего региона (состоящего только из этих двух городов).
Запишем все данные доступные из условия. Для всего региона до войны:
после войны:
Для подсчета коэффициента Джини до войны замечу, что эльфы и бывшие эльфы могут быть определены в одну группу, так как их средний доход равен. Тогда кривая Лоренца имеет вид:
А коэффициент Джини можно посчитать через площадь:
За правильный подсчет коэффициента Джини до войны ставилось ( балла). За арифметическую ошибку снимался один балл. В данной задаче решение через таблицу также приводило к снижению итоговой оценки на балл, так как данный метод нельзя использовать без обоснования на олимпиадах.
Можно изобразить кривую Лоренца для региона после войны:
Коэффициент Джини будет одинаковым для обеих городов. Посчитать его можно как две площади между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца:
За правильный подсчет коэффициента Джини до войны ставилось ( балла). За арифметическую ошибку снимался балл.
Примечание: Многие участники считали, что коэффициент Джини в регионе до войны составлял . Это неверно, так как коэффициент Джини в каждом городе не отражает коэффициент Джини всего региона.
После всего этого следовало в явном виде сравнить коэффициенты Джини до и после войны:
А значит в результате войны коэффициент Джини увеличился. За это сравнение участник получал ( балл).