Задача 2. МЭ ПОШ – 2021 (9 класс)
Хитрый монополист Санлайтов работает на рынке с месячной функцией спроса , где каждый потребитель покупает только одну единицу товара, а средние переменные издержки монополиста не зависят от объема и равны . Монополист думает о том, чтобы сначала назначить некоторую цену на свой товар, подождать, пока все желающие купят данный товар, а далее устроить распродажу – снизить цену на данный товар. После того, как все новые желающие купили товар, монополист хочет устроить «финальную» распродажу – еще раз снизить цену на данный товар. К сожалению для монополиста, данная схема является незаконной и если он ее провернет, ему придется заплатить штраф. Определите минимальную величину штрафа, при которой монополист не будет проводить описанную схему, при условии, что если монополисту безразлично, он не будет портить репутацию и проводить «распродажу».
Так как предельные издержки постоянны, пере обозначим спрос: – вычтем из него издержки. Таким образом, теперь мы как бы снизили спрос, но
не будем в решении учитывать издержки.
) Если монополист не нарушает, он максимизирует функцию и значение прибыли составит .
) Если монополист нарушает закон.
Способ . Графический.
Заметим, что мы максимизируем выручку трижды на спросе (что равносильно максимизации прибыли, так как мы убрали издержки). Тогда наш спрос разбивается на шесть прямоугольников, которые в оптимуме будут являться квадратами:
Отсюда получаем прибыль при нарушении: . Таким образом
минимальная величина штрафа составит .
Способ . Аналитический.
Монополист максимизирует функцию прибыли по – ценам в начальный
момент, в момент первой распродажи и в момент финальной распродажи.
.
После максимизации данной функции, получаем ответ .
Отсюда прибыль составит , а минимальная величина штрафа составит .