ВсОШ, 2022, 1 тур, 11 класс, задание 8
«Рыцари и Лжецы».
На острове живут только два типа обитателей — Рыцари и Лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а Лжецы всегда — лгут. Островитяне утверждают следующее.
: «Мы с относимся к разным типам обитателей острова тогда и только тогда, когда верно, что среди нас всех не менее четырех Рыцарей»
: «Только одно из двух высказываний истинно: во-первых, среди нас не более пяти Рыцарей, а, во-вторых, — Лжец».
: «Среди нас больше Рыцарей, чем Лжецов»
: «Среди нас не более двух Рыцарей»
Используя следующую таблицу, определите, кто является Рыцарем, а кто — Лжецом, докажите, что существует только один вариант решения. Для это проанализируйте высказывания последовательно и укажите какие строки данное высказывание позволяет исключить (если строка была исключена на прошлом этапе, то ее не нужно указывать второй раз). Приведите подробное обоснование — почему именно эти строки исключаются данным высказыванием.
Таблицу следует читать следующим образом. Каждая строка соответствует определенному распределению ролей среди персонажей: «р» означает, что в этой строке персонаж является Рыцарем, а «л» означает, что в этой строке персонаж является Лжецом. Например, в строке предполагается, что только — Лжец.
В порядке возрастания укажите номера строк из таблицы, которые позволяет исключить высказывание
Ответ
Рассмотрим следующую
таблицу, в которой мы оценим истинность высказывания . Здесь, « » означает, что высказывание истинно, а « », что высказывание – ложно.
Поэтому мы исключаем строки, в которых – Рыцарь, а всего Рыцарей не менее четырех . И исключаем строки, в которых – Лжец, а Рыцарей строго меньше четырех .
В порядке возрастания укажите номера строк из таблицы, которые позволяет исключить высказывание
Ответ
. Поскольку высказывание «среди нас не более пяти Рыцарей» является истинным, то утверждение эквивалентно утверждению «Неверно, что –Лжец». То есть, эквивалентно утверждению « – Рыцарь». Данное утверждение позволяет исключить строки, в которых и – различные существа.
В порядке возрастания укажите номера строк из таблицы, которые позволяет исключить высказывание .
Ответ
. Исключаем строки, в которых – Рыцарь, а всего Рыцарей меньше, чем Лжецов (таких строк нет). И строки, в которых – Лжец и Рыцарей больше, чем Лжецов.
В порядке возрастания укажите номера строк из таблицы, которые позволяет исключить высказывание .
Ответ
. В этой строке – Лжец, но он сказал правду, поскольку Рыцарей в этой строке действительно не больше двух
Всего баллов. Из них: балла за правильный ответ ( балл за четыре совпадения),
баллов за правильный анализ всех четырех высказываний (по балла за анализ каждого высказывания, из них балл за правильный список исключаемых строк, балл за правильное обоснование).