Клейкая лента
Длинная клейкая лента шириной приклеена к горизонтальной поверхности стола. Известно, что для того, чтобы оторвать единицу площади такой ленты от стола, нужно совершить работу (считайте, что эта величина не зависит от угла, под которым тянут ленту). Лента является невесомой и нерастяжимой.
-
Под каким углом к горизонту и в каком направлении следует тянуть за конец ленты, чтобы сила, при которой лента начнёт отрываться от стола, была минимальной?
-
Один из концов ленты частично оторвали от стола и прикрепили к нему невесомую нить, переброшенную через маленький (по сравнению c длинами нити и ленты) невесомый блок, расположенный на высоте , как показано на рисунке.
При этом угол между нитью и горизонтом составил . К другому концу нити прикрепили груз. При какой максимальной массе груза система будет покоиться?
- К первому грузу с максимально возможной массой из предыдущего пункта прикрепили второй с неизвестной массой и отпустили без начальной скорости. Лента стала отрываться, и система пришла в движение. Спустя некоторый промежуток времени грузы остановились, а наклонный участок ленты оказался под углом к горизонту. Найдите массу второго груза , расстояние , на которое в результате сместились грузы, а также модули ускорений грузов в момент начала движения и в момент остановки . Ускорение свободного падения примите равным .
Ответ
Когда приложенная сила постоянна по величине и направлению, угол наклона оторванной части ленты также постоянен. Если внешняя сила достаточна по величине и приводит к отрыву части ленты малой длины , точка, к которой приложена внешняя сила, перемещается на расстояние , совершая при этом работу, которую можно связать с величиной и площадью оторвавшейся части ленты :
. (1)
Перемещение точки приложения силы может быть выражено через и :
. (2)
Подставляя (2) в (1), получаем выражение для силы , необходимой для отрывания ленты от стола под некоторым углом:
.
Сила принимает минимальное значение при максимальном знаменателе , то есть при .
Теперь рассмотрим второй случай. Силы натяжения ленты и нити равны по модулю, так что будем их обозначать . Из условия равновесия груза . Очевидно, что если сила натяжения не превышает силу отрыва ленты для угла , то лента не будет отрываться и система будет покоиться. Максимальная сила , которая может быть достигнута при равновесии системы:
.
Тогда масса груза равна
.
Теперь рассмотрим случай добавления груза массой . Для начала определим длину участка ленты , который оторвался от стола до момента остановки грузов. Его можно выразить через высоту блока и углы и :
.
Для нахождения используем условие сохранения полной длины нити и ленты (ввиду их нерастяжимости):
,
где и — расстояния от блока до точки отрыва ленты от стола в начальный и конечный момент соответственно. Тогда
.
Положение, в котором остановится система, определяется законом изменения полной механической энергии: изменение потенциальной энергии груза (кинетическая энергия в крайних положениях равна нулю) равно работе по отрыву ленты:
.
Отсюда
.
Ускорения грузов в начальный и конечный моменты времени находятся из второго закона Ньютона:
,
или
.
Искомые значения:
,
.
Заметим, что после остановки ускорения грузов будут равны нулю.