Лифт
Лифт начинает движение из состояния покоя и останавливается на два этажа выше через время с, а на четыре этажа выше — через с.
Лифт, не останавливаясь между этажами, преодолевает необходимую дистанцию за минимально возможное время, при этом модули его скорости и ускорения не превышают некоторых неизвестных значений и , соответственно. Высота всех этажей одинакова, временем открытия и закрытия дверей можете пренебречь.
Используя без доказательства тот факт, что при подъёме на два этажа вверх лифт достигает предельного значения скорости , найдите:
-
За какое время лифт поднимется на три этажа?
-
За какое время лифт поднимется на один этаж?
Ответ
Решение.
Лифт преодолевает необходимую дистанцию ( этажей высотой каждый) за минимально возможное время , если разгоняется с ускорением до скорости , далее двигается с постоянной скоростью в течение времени и тормозит до полной остановки за время .
Начертим соответствующий график скорости лифта от времени. Площадь под ним пропорциональна пройденному пути:
Откуда
Однако эта формула верна лишь при , т.е. только в том случае, когда лифт успевает достичь максимальной скорости . Это условие можно переписать в виде:
Если лифт не успевает достичь максимальной скорости , то оптимальной по времени становится следующая стратегия зависимости скорости от времени. Необходимо половину времени ускоряться с и половину времени замедляться с тем же по модулю ускорением. График зависимости скорости от времени представлен на рисунке.
В этом случае пройденный путь равен
Откуда
По условию, обе точки и принадлежат случаю
Из системы
получаем
Из системы найдём
то есть при подъёме на один этаж лифт не достигает максимально возможной скорости. Так что