Ледяная картина
После добавления в сосуд с водой некоторого количества льда в нем устанавливается тепловое равновесие. На рисунке 4 приведена диаграмма, на которой выделены области с указанием конечного состояния содержимого сосуда в зависимости от температуры и массы добавленного льда.
1. Какая температура установится в сосуде, если в него добавить льда при температуре ?
2. Определите начальную температуру и массу воды в сосуде.
Тепловыми потерями и теплоемкостью сосуда можно пренебречь. Содержимое из сосуда не выливается. Удельная теплота плавления льда , удельная теплоемкость льда , удельная теплоемкость воды .
Ответ
Решение.
Ответ на первый вопрос задачи можно найти сразу с помощью диаграммы состояний. Для льда . Точка соответствующая такой массе и температуре попадает в область между зонами льда и воды, а значит соответствует смеси, находящейся в равновесном состоянии при температуре .
Чтобы найти начальную массу и температуру воды запишем уравнения теплового баланса для геометрического множества точек границ зон льда и воды.
Все точки правой границы зоны льда соответствуют конечному состоянию, в котором все содержимое сосуда окажется в виде льда при .
откуда
Коэффициент наклона находим из графика. Он равен .
Все точки левой границы зоны воды соответствуют конечному состоянию, в котором все содержимое сосуда окажется в виде воды при .
откуда
Коэффициент наклона находим из графика. Он равен .
Остается решить систему уравнений:
Разделим верхнее уравнение на нижнее
и найдём:
Массу воды можно найти, подставив найденную температуру, например, во второе уравнение системы.
Учитывая, что исходные данные взяты из графика, допускаются отклонения от авторских значений для температуры в диапазоне от до , а для массы от до .
Альтернативное решение «по двум точкам»:
На правой прямой при температуре льда равной нулю остывание воды до нуля полностью плавит лед: , где На левой прямой лед, нагреваясь до нуля, охлаждает воду до нуля и кристаллизует ее. Берем любую точку на этой прямой, например и , уравнение имеет вид:
Вычитая из второго уравнения первое получаем: