Падающий поршень
В цилиндрическом сосуде, установленном вертикально в поле силы тяжести, под массивным горизонтальным поршнем массой содержится одноатомный идеальный газ. Над поршнем — вакуум. Поршень находится в равновесии и может перемещаться вдоль стенок сосуда практически без трения. Поршень закрепляют в этом равновесном положении, после чего кладут на него гирю массой . Затем поршень освобождают. При дальнейшем движении поршня с гирей его минимальное расстояние до дна сосуда в два раза меньше исходного расстояния . Определите:
-
массу гири ;
-
модуль максимального ускорения поршня с гирей в процессе движения;
-
модуль максимальной скорости поршня с гирей в процессе движения.
-
Через длительное время поршень остановился. Найдите расстояние до дна сосуда, на котором будет находиться поршень в состоянии нового термодинамического равновесия.
Теплоёмкость сосуда и поршня пренебрежимо мала, теплоотдача в окружающую среду отсутствует. При движении поршня от исходного положения до его первой остановки процессы в газе можно считать равновесными. Масса газа много меньше массы поршня. Ускорение свободного падения считайте равным .
Ответ
Так как поршень вначале находится в равновесии, то или , где и — начальное давление и начальный объём газа соответственно, — площадь внутреннего поперечного сечения сосуда.
При движении системы механическая энергия поршня с грузом передаётся только газу (поршень перемещается в сосуде практически без трения, снаружи вакуум), а газ не передаёт теплоту в окружающую среду (по условию). В этом случае первое начало термодинамики имеет вид:
где — изменение внутренней энергии газа, — работа внешних сил над газом, равная убыли полной механической энергии поршня с грузом: . В результате получаем:
Согласно условию, при движении поршня от исходного положения до его первой остановки процессы в газе можно считать равновесными. Поэтому будем считать, что с газом происходит обратимый адиабатический процесс.
Для него справедливо уравнение Пуассона , где для одноатомного идеального газа, и — давление и объём газа в некоторый произвольный момент времени. В нашем случае
или
где — расстояние от поршня до дна сосуда в произвольный момент времени.
Рассмотрим момент времени, когда поршень находился в самой нижней точке на расстоянии от дна сосуда. В этот момент скорость поршня с грузом равна нулю, т. е.
Изменение внутренней энергии газа:
где и — давление и объём газа соответственно в рассматриваемый момент времени.
После объединения получаем:
Подставляем и находим:
Будем рассматривать поршень с грузом как единое тело. Максимальный модуль ускорения поршня с грузом достигается, когда их скорость равна нулю, при этом суммарная внешняя сила — максимальна. Этим условиям удовлетворяют два положения поршня: начальное положение (сила тяжести больше силы давления газа на поршень) и нижнее положение (сила давления газа на поршень больше силы тяжести).
В начальный момент модуль ускорения поршня с грузом равен:
В нижнем положении модуль ускорения поршня с грузом равен:
Выбираем максимальное значение:
Максимальной скорости поршень достигает на первом участке движения (от верхней точки до нижней). При максимальной скорости движения ускорение равно нулю, т. е. сила тяжести равна силе давления газа :
где — расстояние от поршня до дна сосуда в указанный момент времени. Из полученного уравнения найдём .
Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) для газа записывается так:
или
где и — давление и объём газа соответственно в момент прохождения поршнем положения равновесия. Откуда:
Подставляем значение :
откуда получаем:
На длительном промежутке времени процессы, протекающие в газе, становятся необратимыми, т. е. механическая энергия необратимо переходит во внутреннюю энергию. Уравнение адиабаты , выведенное для обратимого процесса, в этом случае не применимо.
Запишем условие равновесия поршня с грузом: . Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) в этом случае имеет вид:
Получаем:
Находим новую высоту: