Бусинка на стержне
Твёрдый невесомый стержень длиной опирается концом на гладкую вертикальную стенку, а концом — на горизонтальную шероховатую поверхность. Коэффициент трения между стержнем и горизонтальной поверхностью — . По стержню может без трения скользить маленькая бусинка массой . Тела удерживают так, что стержень расположен под углом к горизонту, а бусинка находится посередине стержня. Тела отпускают, и через некоторое время стержень приходит в движение, при этом бусинка к этому моменту времени не успевает удариться о горизонтальную поверхность.
- Найдите скорость бусинки в момент времени, когда стержень начнёт двигаться, и те значения коэффициента трения , при которых возможна описанная в условии ситуация.
- Найдите силу взаимодействия стержня с вертикальной стенкой в этот момент времени.
Ответ
Решение.
Первый способ.
Поскольку стержень находится в равновесии — равнодействующая сил, действующих на него, должна равняться нулю, а также относительно любой точки должен равняться нулю момент действующих на стержень сил. Поскольку массой стержня можно пренебречь, можно считать, что силы прикладываются к стержню в точках , и в месте положения бусинки.
Сила реакции со стороны вертикальной стены направлена горизонтально, а сила взаимодействия бусинки со стержнем направлена перпендикулярно последнему, поскольку трения между ними нет. Тогда линия действия равнодействующей сил нормальной реакции и трения в точке — полной реакции опоры — должна проходить через точку пересечения линий действия и по теореме о трёх непараллельных силах. Изобразим это на рисунке.
Поскольку линия действия фиксирована, а сохраняет своё направление — точка пересечения линий действия сил горизонтально перемещается. Угол наклона стержня к вертикали составляет , значит смещению бусинки вдоль стержня на величину соответствует смещение пересечения линий действия сил на величину .
Возможны два варианта начала движения стержня: скольжение по полу и стенке или вращение относительно нижнего конца. Предположим, что стержень начнёт проскальзывать. Это произойдёт в тот момент, когда более не сможет удовлетворить условию пересечения линий действия сил, то есть угол превысит величину . Отсюда найдём перемещение бусинки :
Стержень придёт в движение до момента удара бусинки о пол, если , отсюда получаем условие на коэффициент трения, при котором возможна описанная ситуация:
Определим скорость бусинки из закона сохранения механической энергии:
Второй способ.
Расставим силы, действующие на стержень, и запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:
и правило моментов относительно точки :
Из второго закона Ньютона для бусинки в проекции на ось, перпендикулярную стержню, получим, что . Решив систему уравнений, найдём:
Проскальзывание начнётся при , то есть если
Отсюда, при условии, что , получим . До начала проскальзывания бусинка движется равноускоренно с ускорением . Начальная скорость бусинки равна нулю, поэтому
Силу взаимодействия стержня с вертикальной стенкой также можно определить двумя способами.
Первый способ.
Изобразим на рисунке условие равенства нулю равнодействующей сил, действующих на стержень. Обратим внимание, что из второго закона Ньютона для бусинки в проекции на ось, перпендикулярную стержню,
Тогда имеем
В момент отрыва , поэтому
Как мы выяснили выше, описанная в условии ситуация возможна только при , тогда . Это означает, что наше предположение о том, что проскальзывание начнётся раньше переворота, справедливо, а полученные ответы верны.
Второй способ.
Так как в момент начала проскальзывания ,
Как мы выяснили выше, описанная в условии ситуация возможна только при , тогда . Это означает, что наше предположение о том, что проскальзывание начнётся раньше переворота, справедливо, а полученные ответы верны.