СПбГУ 2021, 9 класс, задача 1

( баллов) Докажите, что для любых вещественных чисел и уравнение

имеет решение.

Ответ

Решение. Если , то любой является решением уравнения. Если , то нам нужно доказать, что квадратный трехчлен имеет корень. Для этого достаточно проверить, что его дискриминант неотрицателен. Дискриминант, деленный на , равен

что всегда не меньше нуля.

Похожие задачи

СПбГУ 2024, 8-9 классы, задача 2

(20 баллов) Есть 35 кроликов и 35 клеток, клетки пронумерованы числами от 1 до 35, а кролики - числами от 36 до 70. Кроликов рассаживают по клеткам (по одному кролику в клетку) так, чтобы номер каждого кролика был взаимно прост с номером его клетки. Докажите, что количество способов так рассадить кр

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2022, 9 класс, задача 6

(20 баллов) У натурального числа n нет ни одного делителя d, удовлетворяющего неравенству n²le d⁴le n³. Докажите, что n имеет простой делитель, четвертая степень которого больше, чем n³.

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2025, 9 класс, задача 2

(20 баллов) Каждое натуральное число окрашено в синий или красный цвет. Сумма любых двух разноцветных чисел — синее число, а их произведение — красное число. Какого цвета произведение двух красных чисел?

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2026, 9 класс, задача 2

(20 баллов) В Цветочном городе ходят автобусы и троллейбусы. Одна поездка на автобусе стоит на 6 рублей дороже одной поездки на троллейбусе. Незнайка за неделю совершил 42 поездки и потратил на это 1200 рублей. Сколько раз Незнайка катался на автобусе, если известно, что на автобусе он катался более

Сложная

Алгебра

Теория чисел